División sintética

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.

Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:

Comenzamos dividiéndolo normalmente

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos . al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:

Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:

Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:

Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.

Esta última forma se llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética:

1. Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta

2. Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón

3. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.

4. Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).

5. Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.

6. Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.

Ejemplos:

Donde -108 es el residuo

Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentes.

Para generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo. Para el uso de este método puede ser positivo o negativo.

Teoremas del residuo y del factor.

5.5.1 Algoritmo de la división. Para cada polinomio  de grado mayor o igual a uno y para cada número , existe un polinomio único  de un grado menor que el de  y un número único R, tal que:

.

Al polinomio  se le denomina cociente,  en el divisor y R es el residuo.

5.5.2 Teorema del residuo.

 Si  es el residuo de dividir el polinomio  entre , entonces .

Demostración.

Como  por el algoritmo de la división, se tiene que si , .

O sea, .

Ejemplo 7.

Hállese el residuo de dividir el polinomio  entre .

Solución.

 se puede escribir como , por tanto .

.

.

O sea que el residuo es 2.

5.5.2 Teorema del factor. Si  es un cero del polinomio , entonces  es un factor de .

Demostración.

Si  es un cero de , .

Pero por el algoritmo de la división .

Como , .

Por tanto,  y .

Ejemplo 8.

Use el teorema del factor para probar que  es un factor de .

Solución.

, así .

.

Luego –1 es un cero de .

Así  es un factor de .

5.5.3 Teorema de los n ceros. Todo polinomio de grado  con coeficientes reales o complejos se puede expresar como el producto de n factores lineales.

Por tanto, tiene exactamente n ceros, no necesariamente distintos.

Ejemplo 9.

Si –2 es un cero de multiplicidad 2 de , escríbase  como un producto de factores lineales.

Solución.

Como –2 es un cero de multiplicidad 2, se tiene que,

.

.

.

.

Al usar la formula cuadrática, se hallan los ceros de  que son , .

Así,  escrito como el producto de factores lineales es,

            .

5.5.4 Teorema de los ceros complejos. Los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales, si existen, se presentan en pares conjugados.

Como consecuencia del teorema anterior, se sabe que si un polinomio con coeficientes reales es de grado impar, siempre tiene al menos un cero real.

Ejemplo 10.

Si  es un polinomio de tercer grado con coeficientes reales, entonces una de las siguientes afirmaciones es falsa:

            a.  tiene al menos un cero real.

            b.  tiene tres ceros.

            c.  puede tener dos ceros reales y uno complejo.

Solución.

La afirmación c. es falsa dado que los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales deben presentarse en pares conjugados. Si  tienen dos ceros reales, entonces el tercer cero debe ser también real.

5.5.5 Regla de los signos de descartes. Dado un polinomio  con coeficientes reales, entonces:

• El número de ceros reales positivos de  nunca esa mayor que el número de variaciones en el signo de , si es menor, entonces siempre será en un número par .
• El número de ceros reales negativos de  nunca es mayor que el número de variaciones en el signo de , si es menor, entonces siempre será en un número par.

Se va a entender que, en un polinomio con coeficientes reales ordenado en forma decreciente, ocurre una variación en el signo si dos términos sucesivos tiene signos opuestos. Los términos no existentes, o sea los términos con coeficientes cero, se ignoran.

Ejemplo 11.

En , hay 3 variaciones en el signo, por tanto existen 3 ó 1 raíces reales positivas.

.

.

En  hay una variación en el signo, por tanto existe una raíz real negativa.